一元一次方程的应用 教学目标 1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题； 2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力； 3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯． 教学重点和难点 一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤． 课堂教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？ 为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题． 例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数． (首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书) 解法1：(4+2)÷(3-1)=3． 答：某数为3． (其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成) 解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4． 解之，得x=3． 答：某数为3． 纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一． 我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程． 本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤． 二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤 例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？ 师生共同分析： 1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？ 2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量) 3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？ 上述分析过程可列表如下： 解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得 x-15％x=42 500， 所以 x=50 000． 答：原来有 50 000千克面粉． 此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？ (还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程； (2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿． 依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下： (1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数； (2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)； (3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等； (4)求出所列方程的解； (5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义． 例3 (投影)初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了多少个苹果？ (仿照例2的分析方法分析本题，如学生在某处感到困难，教师应做适当点拨．解答过程请一名学生板演，教师巡视，及时纠正学生在书写本题时可能出现的各种错误．并严格规范书写格式) 解：设第一小组有x个学生，依题意，得 3x+9=5x-(5-4)， 解这个方程： 2x=10， 所以 x=5． 其苹果数为 3× 5+9=24． 答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个． 学生板演后，引导学生探讨此题是否可有其他解法，并列出方程． （设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得 ） 三、课堂练习 1．买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？ 2．我国城乡居民 1988年末的储蓄存款达到 3 802亿元，比 1978年末的储蓄存款的 18倍还多4亿元．求1978年末的储蓄存款． 3．某工厂女工人占全厂总人数的 35％，男工比女工多 252人，求全厂总人数． 四、师生共同小结 首先，让学生回答如下问题： 1．本节课学习了哪些内容？ 2．列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？ 3．在运用上述方法和步骤时应注意什么？ 依据学生的回答情况，教师总结如下： (1)代数方法的基本步骤是：全面掌握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案．其中第三步是关键； (2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆． 五、作业 1．买3千克苹果，付出10元，找回3角4分．问每千克苹果多少钱？ 2．用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？ 3．某厂去年10月份生产电视机2 050台，这比前年10月产量的 2倍还多 150台．这家工厂前年10月生产电视机多少台？ 4．大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉．求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？ 5．把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元．求得到一等奖与二等奖的人数． 一元一次方程和它的解法 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．要求学生学会用移项解方程的方法． 2．使学生掌握移项变号的基本原则． （二）能力训练点 由移项变形方法的教学，培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力． （三）德育渗透点 用代数方法解方程中，渗透了数学中的化未知为已知的重要数学思想． （四）美育渗透点 用移项法解方程明显比用前面的方法解方程方便，体现了数学的方法美． 二、学法引导 1．教学方法：采用引导发现法发现法则，课堂训练体现学生的主体地位，引进竞争机制，调动课堂气氛． 2．学生学法：练习→移项法制→练习 三、重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：移项法则的掌握． 2．难点：移项法解一元一次方程的步骤． 3．疑点：移项变号的掌握． 四、课时安排 3课时 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片、复合胶片． 六、师生互动活动设计 教师出示探索性练习题，学生观察讨论得出移项法则，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成． 七、教学步骤 （一）创设情境，复习导入 师提出问题：上节课我们研究了方程、方程的解和解方程的有关知识，请同学们首先回顾上节课的有关内容；回答下面问题． （出示投影1） 利用等式的性质解方程 (1) ； (2) ； 解：方程的两边都加7， 解：方程的两边都减去 ， 得 ， 得 ， 即 ． 合并同类项得 ． 【教法说明】通过上面两小题，对用等式性质解方程进行巩固、回忆，为讲解新方法奠定基础． 提出问题：下面我们观察上面方程的变形过程，从中观察变化的项的规律是什么？ （二）探索新知，讲授新课 投影展示上面变形的过程，用制作复合式运动胶片将上面的变形展示如下，让学生观察在变形过程中，变化的项的变化规律，引出新知识． （出示投影2） 师提出问题：1．上述演示中，两个题目中的哪些项改变了在原方程中的位置？怎样变的？ 2．改变的项有什么变化？ 学生活动：分学习小组讨论，各组把讨论的结果派代表上报教师，最好分四组，这样节省时间． 师总结学生活动的结果：大家讨论的结论，有如下共同点：①方程(1)的已知项从左边移到了方程右边，方程(2)的 项从右边移到了左边；②这些位置变化的项都改变了原来的符号． 【教法说明】在这里的投影变化中，教师要抓住时机，让学生发现变化的规律，准确掌握这种变化的法则，也是为以后解更复杂方程打下好的基础． 师归纳：像上面那样，把方程中的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．这里应注意移项要改变符号． （三）尝试反馈，巩固练习 师提出问题：我们可以回过头来，想一想刚解过的两个方程哪个变化过程可以叫做移项． 学生活动：要求学生对课前解方程的变形能说出哪一过程是移项． 【教法说明】可由学生对前面两个解方程问题用移项过程，重新写一遍，以理解解方程的步骤和格式． 对比练习：（出示投影3） 解方程：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 学生活动：把学生分四组练习此题，一组、二组同学(1)(2)题用等式性质解，(3)(4)题移项变形解；三、四组同学(1)(2)题用移项变形解，(3)(4)题用等式性质解． 师提出问题：用哪种方法解方程更简便？解方程的步骤是什么？（答：移项法；移项、合并同类项、检验．） 【教法说明】这部分教学旨在于使学生学会用移项这一手段解方程的方法，通过学生动手尝试，理解解方程的步骤，从而掌握移项这一法则． 巩固练习：（出示投影4） 通过移项解下列方程，并写出检验． (1) ； (2)； (3) ； (4) ． 【教法说明】这组题训练学生解题过程的严密性，故采取学生亲自动手做，四个同学板演形式完成． （四）变式训练，培养能力 （出示投影5） 口答： 1．下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应怎样改正？ (1)从 ，得到 ； (2)从 ，得到 ； (3)从 ，得到 ； 2．小明在解方程 时，是这样写的解题过程：； (1)小明这样写对不对？为什么？ (2)应该怎样写？ 【教法说明】通过以上两题进一步印证移项这种变形的规律，即“移项要变号”．要使学生认清这里的移项是把某项从方程的一边移到另一边而不是在同一边交换位置，弄懂解方程的书写格式是方程在变形，变形时保持“左右两边相等”这一数学模式． （出示投影6） 用移项解方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【教法说明】这组题增加了难度，即移项变形是左右两边都有可移的项，教学时由学生思考后再进行解答书写，可提醒学生先分组讨论，各组由一名同学叙述解题过程，教师归纳出最严密最精炼的解题过程，最后全体学生都做这几个题目． 学生活动：5分钟竞赛：规则是分两大组，基础分100分，每组同学全对1人加10分，不全对1人减10分，互相判题，学习委员记分． （出示投影7） 解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【教法说明】这组题用竞赛的形式，由学生独立完成是为了培养学生的解方程的速度和能力，同时激发学生的竞争意识，从而达到调动全体学生参与的目的，而互相评判更增加了课堂上的民主意识． （五）归纳小结 师：今天我们学习了解方程的变形方法，通过学习我们应该明确两个方面的问题：①解方程需把方程中的项从一边移到另一边，移项要变号这是重点．②检验要把所得未知数的值代入原方程． 方程和它的解 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．通过本节知识的学习，使学生清楚了解方程、方程的解的概念，以及解方程的含义． 2．让学生学会根据条件列出方程． （二）能力训练点 1．通过例2的教学，培养学生解决数学问题的思想方法和综合分析问题的思维能力． 2．通过例3方程的解的检验问题培养学生准确解题的能力及数学问题的严密性． （三）德育渗透点 从已知到未知，从特殊到一般的认识问题的方法． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，学生会进一步体会到概念中语言的准确美与简洁美． 二、学法引导 1．教学方法：以尝试指导为主、练习巩固为辅，体现学生的主体活动，增强课堂上民主意识的体现． 2．学生学法：识记→练习 三、重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：使学生了解方程的有关概念，会检验方程的解，并能根据求某数的简单条件，列出某数为未知数的一元方程（仅限于一次，二次）． 2．难点：列关于某数的简单方程． 3．疑点：关于方程解的理解． 四、课时安排 l课时 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片． 六、师生互动活动设计 教师出示探索性练习题，学生讨论解答，得出有关概念，教师出示巩固性练习题，学生以多种形式完成． 七、教学步骤 （－）创设情境，复习导入 师：我们上一节共同学习了等式和等式的性质，我们知道了用“等号”表示相等关系的式子叫做等式．下面请同学们思考如下问题： （出示投影1）或电脑显示如下 1．如果 ，那么 ，为什么？（根据什么等式性质） 2．如果 ，那么 ，根据等式什么性质？ 3．如果 ，那么 ，根据等式什么性质？ 4．如果 ，那么 ，根据等式什么性质？ 师：同学们对这组问题回答的非常准确，条理清楚．说明我们掌握新知识，学习新方法的劲头很足，望同学们发扬． （二）探索新知，讲授新课 师：请同学们观察上面题中等式： ； ； ； ． 这些等式中，象－3，6，2，－1，3，－7，5，8这些数都是已知的，我们把这些数叫做已知数． 再观察式中的 也表示一个数，不难发现它相当于一个问号“？”，在研究它之前是未知的，像这样的数叫做未知数，像这样的式子，我们已经知道它是等式，因此方程就是含有未知数的等式． 师提出问题： （1）请同学们把 这个结果代入方程 中，看一看会有什么结果？当学生能够回答出 时方程左右两边相等这一结果后，引出概念：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只有一个未知数的方程的解也叫方程的根． （2）再观察 到 的变形过程 a 被减数等于差加上减数． 得 ， 即 ． 再据一个因数等于积除以另一个因数，得 ，即 ． （说明是小学解法） e 两边都加上7，得， , 即 ． 两僆都除以5，得， ． 提出问题：上面两种变形最终我们求出了什么？ 两种方法所得结果一样吗？ 【教法说明】通过上面提问由学生展开讨论，教师归纳上面过程实质上就是求方程解的过程． 师：求得方程解的过程，叫做解方程． 如：求得方程 的解的两种方法，都可以叫解方程 ． （三）尝试反馈，巩固练习 师提出问题：现在请同学们分组讨论，由各组派代表回答，如何判断一个式子是方程？ 学活动：分组讨论，准备派代表回答，回答结果：（1）含有未知数，（2）等式． （出示投影2） 例1 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数，如果不是，说明为什么？ ① ；② ；③ ；④ ． 【教法说明】例1教学应注意，方程必须是含有未知数的等式．未知数的系数是1，可以省写．这个1，也是已知数，已知数包括它的符号． 巩固练习： （出示投影3） 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么？ ① ；② ；③ ；④ ． 【教法说明】这组可采用分组抢答形式，用竞赛加分的办法完成以增加学生学习的积极性，如：分成四组，班长记分，教师主持． 师提出问题：如果设某数为 ，请大家把下面的句子用方程的形式表示出来，看谁做得快． （出示投影4） （1）某数的 与1的和是2； （2）某数的4倍等于某数的3倍与7的差； （3）某数与8的差的 等于0． 学生活动：学生动笔动脑分析得出方程，由一个学生写在黑板上，如： （1） ；（4） ；（3） ． 【教法说明】为了使学生掌握，③小题应提醒学生注意运算的顺序，必要时加上括号．另外有时得出方程可有形式上的区别． 师提出问题：请同学们选择适当的未知数，列出例2中的方程： （出示投影5） 例2 根据下列条件列出方程： （1）某数比它的 大 ； （2）某数比它的2倍小3； （3）某数的一半比某数的3倍大4； （4）某数比它的平方小42． 学生活动：要求学生独立完成上面的题目，完成后与小组同学讨论，对比，分组说出所列方程中，形式不一样地方． 【教法说明】教师可布置学生自编两个题目，留给同桌同学列方程，找代表说一说题目和方程． （四）变式训练，培养能力 （出示投影6） 1．下列各式是不是方程，如果是，指出它的未知数是什么？ ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； ⑨ ； ⑩ ． 【教法说明】这组题用小组竞赛的形式完成，优胜组负责编一个这样的题目，点其他组任一同学解答，答对者给以掌声鼓励． （出示投影7） 2．请同学们用两种方法，求出下面方程的解． ① ；② ；③ ；④ ． 【教法说明】这组题由学生在练习本上演练，教师指定学生口述，征求全体同学意见． （出示投影8） 3．请同学们选用适当的未知数，写一个方程使方程的解是下面的数： （1）1； （2）－2； （3）0； （4）2． 学生活动：分组编写，互相交换，观察所作方程的特征，互相交流经验、方法，增强协作意识． 【教法说明】这组题难度较大，教师在学生编题时要注意后进生的动态，多启发他们动脑筋，开发数学的逆向思维． （五）归纳小结 师：本课内容与前两节内容的联系，可以用下图表示： 也就是说，方程是含有未知数的等式，可以用等式的性质来解方程． 兵心网：http://www.08681.ncom |
